雨天，4点半等下班时，坐着空，想起昨天的1×2×3×4×5×6，于是构思。
连续一段自然数各数相乘之积数列，及通项公式与求差公式。
a1，1×i=1
a2，1×2=2
a3，1×2×3=6
a4，1×2×3×4=24
a5，1×2×3×4×5=120
a6，1×2×3×4×5×6=720
a7，1×2×3×4×5×6×7=5040
a8，1×2×3×4×5×6×7×8=40320
a9，1×2×3×4×5×6×7×8×9=362880
，，，，，，，，
通项公式：
an=1×2,,,,,,,,×n
求差公式：
1×2,,,,,,,,×n×n
a9，1×2,,,,×9=362880
a8，1×2,,,,×8=40320
362880-40320=322560
40320×8=322560
a8，1×2,,,,×8=40320+【1×2,,,,,,,,×8×8】
40320+322560=【a9，1×2,,,,×9=362880 】
武松打了一只於菟，名扬天下。李逵打了五，六只於菟，没人念叨。
我小学文化农民一粒，具体写出几个公式，我自己已经不很清楚了。
偶数2次幂值数列：
a1:2²=4
a2:4²=16
a3:6²=36
a4:8²=64
a5:10²=100
a6:12²=144
a7:14²=196
a8:16²=256
a9:18²=324
a10:20²=400
a11:22²=484
a12:24²=576
a13:26²=676
a14:28²=784
a15:30²=900
通项公式：
an=²
=×
求a16
an=²=×
a16=×
=32×32
=1024
数列的求差公式：8n+4【n为前项序数】
a1:4
a2:16
a1:4+=a2:16
16-4=12
8n+4
8×1+4=12
a3:36-a2:16
36-16=20
8n+4
8×2+4=20
a4:8²=64
a5:10²=100
100-64=36
8n+4
8×4+4=36
a6:12²=144
a7:14²=196
196-144=52
8n+4
8×6+4=52
a12:24²=576
a13:26²=676
676-576=100
8n+4
8×12+4=100
研究数学游戏的乐趣，在于发现了其中的自然规律。
昨天躲懒时，推导出偶数的2次幂值数列的求差公式时，就纳闷，怎么与奇数的不同。
奇数的2次幂值数列的求差公式是：8n
偶数的2次幂值数列的求差公式却必须得是：8n+4。
夜里想，起床穿衣时想，上厕所想。
数列求差公式的特点是：要结合序数。
偶数的2次幂值数列求差公式8n+4，+4是补四角，那么8n是什么意思呢？
吃早饭时，终于想到了，正方形不是有4条边吗？每条边等分成两段，不就是8小段吗？
而这小半段的长度值，不正好与数列的序数相符吗？
哇，原来是规律会牵着人的思路走，把你带进问题的核心。
8n+4，就是【四边出戟，先成十字形，再补四角式】的稍微变形，四边成八段而已。
1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，，，，，是自然数列里的奇数，
奇数的2次幂值各是：
1，9，25，49，81，121，169，225，289，361，441，，，，，
相邻二数之差：
8，16，24，32，40，48，56，64，72，80，，，，，
a1:1×1=1
a2:3×3=9
a3:5×5=25
a4:7×7=49
a5:9×9=81
a6:11×11=121
a7:13×13=169
a8:15×15=225
a9:17×17=289
a10:19×19=361
a11:21×21=441
a12:23×23=529
a13:25×25=625
a14:27×27=729
a15:29×29=841
a16:31×31=961
，，，，，，
通项公式：
an=×
=²
验算：求a17的值
a17=×
a17=×
a17=33×33
a17=1089
求差公式的推导思路
a1=1
a1:1+8×1=a2：9
a2:9+8×2=a3：25
a3:25+8×3=a4：49
求差公式：8n【n为前项序数an】
前项值+8n=后项值，
an值+8n=a值
an奇数2次幂值+8n=a奇数2次幂值
验算：求a8的值
已知前项a7=²=13²=169
an项奇数2次幂值+8n=a项奇数2次幂值
169+56
=225【a8:15×15=225】
【百度知道】里的一道【美国竞赛题】：
a²+ab+b²=343
即a×a+a×b+b×b=343
【a，b都是正整数】
讲解的老师，写了10多道转换的式子。然后得出a+b的三个以供选择的值：19，20，21。
最后才确定a+b为21的情况下，a=14，b=7；或a=7，b=14。
a×a+a×b+b×b=343成立
14×14+14×7+7×7=343
临睡前，觉得343这个数好面熟，想了许久才想起343=7×7×7=7³=7的3次幂值
于是，今白天扫地的一整天中，主要在拓展思考。
既然一大一小两个数是14与7，那么凡是一大一小两数的比例是2：1关系的，即大数是小数的2倍，小数是大数的2分之一的a，b两数，不论它们是整数，分数，小数，它们的a×a+a×b+b×b类关系式，就应该有相同的一种解法。
我把这种解法叫：7分法。
14×14+14×7+7×7=343
14×14=196=7×7×4
14×7=98=7×7×2
7×7=7×7×1
7×7×【4+2+1】
7×7×7=343
343÷7=7×7=49
49×2=98
49×4=196
例题
a×a+a×b+b×b=175
7分法，175÷7=25
25的平方边5：25÷5=5
b×b=5×5×1=25
a×b=10×5=5×5×2=50
a×a=10×10=5×5×4=100
a×a+a×b+b×b=175
10×10+10×5+5×5=100+50+25=175
计算a×a+a×b+b×b=85.75
7分法
85.75÷7=12.25=b×b
12.25×2=24.5=a×b
12.25×4=49=a×a
12.25=b×b
b=3.5
a=7
只要大a，小b，两数之比是2：1的关系
其a×a+a×b+b×b因式中的三项值的比例是4：2：1
当a×a+a×b+b×b=n时
n÷7=b×b
a×a=b×b×4
a×b=b×b×2
b×b=b×b×1
本帖最后由 文盲王旭龙 于 2022-7-4 07:29 编辑
整数数列里，各数之间的2次幂值之差：
1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，，，，，，，，
1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，，，，，，
3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，，，，，
求差公式，自然数后位数-前位数=差：
自然数前位数的2倍加1，写作：n×2+1
n²与²
3²=9
4²=16
16-9=7
7=3×2+1
【各数的2次幂】
1²，2²，3²，4²，5²，6²，7²，8²，9²，10²，11²，12²，13²，，，，，，，，
【各数的2次幂值】
1， 4， 9， 16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，，，，，，
求a6与a7的差，a6即6²，a7即7²
6×2+1=13
36+13=49
7×7=49
a7：7的2次幂值49
各自然数的2次幂值数列的通项公式
an=²+2+1
例，求a7项7的2次幂值49
an=²+【2+1】
a7=²+【2+1】
a7=49
49=6²+【6×2+1】
49=36+【12+1】
开始以为通项公式与求差各数是一样的，现在知道二式不同。
2n+1
求差公式
an=²+2+1
通项公式
本帖最后由 文盲王旭龙 于 2022-7-6 21:51 编辑
我已经知道了²=a²+b²+2ab
这是两个数的算题。
如果是3个数的，关系式是什么样？我写出以下代数式子：
²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
验算【1】代入a=1，b=3，c=5【1+3+5=9】
²=1²+3²+5²+1×3×2+1×5×2+3×5×2
81=1+9+25+6+10+30=81
²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc验算【2】
代入a=2，b=3，c=4【2+3+4=9】
²=2²+3²+4²+2×3×2+2×4×2+3×4×2
81=4+9+16+12+16+24=81
²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
验算【3】
代入a=2，b=4，c=6【2+4+6=12】
²=2²+4²+6²+2×4×2+2×6×2+4×6×2
144=4+16+36+16+24+48=144
四个不同数之和的二次幂值与四个不同数的二次幂值之和的关系
²=a²+b²+c²+d²+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
² - 【a²+b²+c²+d²】=2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
【验算】a=2，b=3，c=4，d=5。2+3+4+5=14，14×14=196
a²=4，b²=9，c²=16，d²=25。4+9+16+25=54
196-54=142
2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
2×3×2=12+
2×4×2=16+
2×5×2=20+
3×4×2=24+
3×5×2=30+
4×5×2=40=142
前天，我写了一个公式，输入一搜索，却是已经有了。
当a>b时
a×a-b×b=×
一大一小两数的2次幂值之差，等于两数和与两数差相乘的积。
a>b。10>7
10×10-7×7=×
100-49=17×3
51=51
已经有了，就不稀罕了。
本帖最后由 文盲王旭龙 于 2022-7-15 14:16 编辑
中午躺地板上，不在纸上画方格子，只在脑子里冥想，然后写出代数式：
当a>b时
a10>b8
a²-b²=×
a二-b二=×
a×a-b×b=×
10×10-8×8=×
100-64=18×2
36=36
一大一小两数的2次幂值之差，等于两数和与两数差相乘的积。
这只是一种比较方法之下的求差方法，在这种比较方法下几种还有其他方法。
这是接板法。
×2b+×
×2×8+×
2×2×8+2×2
32+4
=36
大10小8两个正方形，以某个角及两条边比齐的方法，看大小之差。多出部分为曲尺形。可分割为三部分，也可分割为两部分。
×b+×b+××8+×8+×
2×8+2×8+2×2
16+16+4
×b×2+×
2×8×2+2×2
32+4
=36
三部分为：×b，×b，×
三部分为：×8，×8，×.
三部分为：2×8，2×8，2×2
三部分和：16+16+4=36
二部分为：×a，×b
二部分为：2×10，2×8
二部分和：20+16=36
中心重叠，大正方形的四条边与小正方形的四条边都处于等距平行状态。
÷2××4
÷2××4
2÷2×9×4
9×4=36
这是四部分接板法。二者的差，分左右各一，
【×4】×4=36
【×4】×4=36
三种方法：
a²-b²=×
a²-b²=×b×2+×
a²-b²=÷2××4
以上是平行比较法
下面是斜向对边法思路：
小正方形的四角接大正方形的四边，多余出的是四个直角三角形。
这四个直角三角形的斜边是8
两直边，长²+短²=8²
长+短=10
长×短÷2×4=36
10的长段与短段之比约在7.647:2.353
7.647×2.353=17.993391×2≈18，
7.647×2.353×2=35.986782≈36
18÷2=9，
9×4=36
本帖最后由 文盲王旭龙 于 2022-7-16 19:30 编辑
又见之前的百度里的美国竞赛题
a+b=9
a³+b³=99
求a²+b²的值
老师最后给出的答案是：11+ab
老师没有交代11这个实数的来源，我猜应该是99÷9=11是这样来的
1+8，2+7，3+6，4+5，和值都是9，但1+8，2+7，3+6，4+5，的3次幂值都大于99。
1³+8³=513，2³+7³=351，3³+6³=243，4³+5³=198，
由于9与99两个数，是随意乱设，相除可以是11，但没有与9，99两个数相关的a，b正整数值。
我改换题目的数值为
a+b=7
a³+b³=91
求a²+b²的值
改9与99两个实数为7，91后，91÷7=13。与竞赛题的99÷9=11仍然可以对应。
当a=3，b=4时
a+b=7：
3³+4³=27+64=91
求a²+b²的值：
3²+4²=25
a×b=12
25-12=13
13+3×4=25
老师最后给出的答案是：11+ab。但无法给出a，b的正整数实值
而我可以给出的答案是：13+ab。a=3，b=4
13+3×4
=13+12
=25
有了对应题目可以验算的实数，问题就容易理解。
÷+=3²+4²
91÷7+12=9+16
13+12=9+16
25=25
a+b=7
a³+b³=91
求a²+b²的值
÷+=a²+b²
这样的代数式，就可以代入实数，求得a²+b²
÷+=a²+b²【设a=5，b=7进行验算】
÷+=5²+7²
÷12+35=25+49
39+35=25+49
74
以后遇到这类问题
a+b=n
a³+b³=m
求a²+b²的值
就可以用这个我总结出来的公式
÷+=a²+b²