我刚刚写出一个公式，我赢了

文盲王旭龙

几天来的学习思考中，接触了小²+中²=大²类型的数组。
小²+中²=大²【a×a+b×b=c×c】
勾3²+股4²=弦5²。
自然整数里，还有哪些同类组合，怎么找？
昨天夜里想：既然3，4，5三个数各乘以11，以及11的倍数后的数组，仍然保持a×a+b×b=c×c数组形式，
那么a×a+b×b=c×c中的a，b，c 即小，中，大三数的任意相同倍值，仍然保持a×a+b×b=c×c数组形式。
a×a+b×b=c×c【a,b,c三数的属性：奇数，偶数，奇数】
3×1，4×1，5×1【3×3+4×4=5×5】9+16=25
3×2，4×2，5×2【6×6+8×8=10×10】36+64=100【公约数3，4，5】
3×3，4×3，5×3【9×9+12×12=15×15】81+144=225
3×4，4×4，5×4【12×12+16×16=20×20】144+256=400【公约数3，4，5】
3×5，4×5，5×5【15×15+20×20=25×25】225+400=625
，，，，，，，，，
【根据数首法则】，可以确定这种关系。

在前面遇到题目中，有一个是：15²+[  ]²=113²
老师的分析中，有15²=225，[225-1]÷2=[112 ]，[225+1]÷2=[113 ]
15²+112²=113²
225+12544=12769
从这个题目中，我又看出【15²+112²=113²】与【3²+4²=5²】的关系。
【15²+112²=113²】就是从【3²+4²=5²】发展过来的。
可以看出【3²+4²=5²】与【15²+112²=113²】二者间有相同之处
4与5，112与113，4+1=5，5-1=4。112+1=113，113-1=112
大于1的奇数，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，，，，，，，，，，，，，
以及其平方值也都能分解成大小差1的两个数。
就有了：
【3²+4²=5²】【3²=9，9=4+5】
【5²+12²=13²】【5²=25，25=12+13】
【7²+24²=25²】【7²=49，49=24+25】
【9²+40²=41²】【9²=81，81=40+41】
【11²+60²=61²】【11²=121，121=60+61】
【13²+84²=85²】【13²=169，169=84+85】
，，，，，，，，，，，，，，，，，
因为，相邻两个自然数的平方差，是前数×2+1.
84²与85²的差，7225-7056=169=13²。84×2+1=169=13²

在自然数列里，寻找【a²+b²=c²】性质类型的三数组的方法就有了。

以大于1的奇数²值-1后除2=中间的偶数；
以大于1的奇数²值+1后除2=后面的奇数，即前奇数+中偶数的和。【这是纵深纵向寻找法】

【a²值+b²值=²值】数组中三值乘以相同的倍数。【这是横向寻找法】

3×3+4×4=5×5【初始关系式】
9+16=25【值检验式】

进行倍值检验
【5²+12²=13²】
5×2，12×2，13×2
10²+24²=26²
100+576=675

5×3，12×3，13×3
15²+36²=39²
225+1296=1521

5×4，12×4，13×4
20²+48²=52²
400+2304=2704

5×5，12×5，  13×5
25²+60²=65²
625+3600=4225
，，，，，，，，

7×7+24×24=25×25
49+576=625
7×2+24×2=25×2
14²+48²=50²
196+2304=2500

7×3+24×3=25×3
21²+72²=75²
441+5184=5625

7×4+24×4=25×4
28²+96²=100²
784+9216=10000
，，，，，，，

纵横交织的经纬网，把整数数列中符合a×a+b×b=c×c等式的三值数组，就揭示出来了。
纵向顺3，5，7，9，11，13，15，，，，，，，依次发展
横向朝2，3，4，5，6，7，8，9，10，，，，，同倍发展

文盲王旭龙

规律与方法知道了，还要有公式
自然数列里a²+b²=c²数组的分布规律：

a²+b²=c²   3²+4²=5²    9+16=25

除此之外，还有很多满足a²+b²=c²的数组。经过昨天一天的挖掘，它们的分布规律被我搞出来了。

横向扩展 3²+4²=5²。即3，4，5各乘以相同的倍数

3×1，4×1，5×1。3²+4²=5²。9+16=25

3×2，4×2，5×2。6²+8²=10²。36+64=100

3×3，4×3，5×3。9²+12²=15²。81+144=225

3×4，4×4，5×4。12²+16²=20²。144+256=400

3×5，4×5，5×5。15²+20²=25²。225+400=625

3×6，4×6，5×6。18²+24²=30²。324+576=900

，，，，，，，，，，，，，，，

普适的通用公式：[n3]²+[n4]²=[n5]²



纵向推进，对象是大于2的奇数：3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，，，，，，分别以这些奇数为基数。

3²+4²=5²，3²=9，9可以分成4与5，大小之差为1的两数。9+16=25

5²=25，25=12+13，5²+12²=13²    25+144=169



3²+4²=5²，    9+16=25       【然后同倍扩展 [n3]²+[n4]²=[n5]²】

5²+12²=13²    25+144=169【然后同倍扩展 [n5]²+[n12]²=[n13]²】

7²+24²=25²   49+576=625  【然后同倍扩展 [n7]²+[n24]²=[n25]²】





3²+4²=5²

5²+12²=13²

7²+24²=25²

9²+40²=41²

11²+60²=61²

，，，，，，，，

n²+[n²÷2-0.5]²=[n²÷2+0.5]²【向大奇数方向探寻的纵向公式】【n表示大于2的奇数】

[n3]²+[n4]²=[n5]²】【在3²+4²=5²，5²+12²=13² ，7²+24²=25² ，，，因式基础上，进行的同倍扩展 】

文盲王旭龙

n²+[n²÷2-0.5]²=[n²÷2+0.5]²【向大奇数方向探寻的纵向公式】【n表示大于2的奇数】

[n3]²+[n4]²=[n5]²】【在3²+4²=5²，5²+12²=13² ，7²+24²=25² ，，，因式基础上，进行的同倍扩展 】
早上醒来，想昨天写的两个公式，应该可以综合成一个。
n²+[n²÷2-0.5]²=[n²÷2+0.5]²  把这个式子里的n，换用a。【a表示大于2的奇数：3，5，7，9，，，，】
a²+[a²÷2-0.5]²=[a²÷2+0.5]²
综合起来的公式：
【an】²+【[a²÷2 - 0.5]n】²=【[a²÷2+0.5]n】²
验算：a=3，n=1
【3×1】²+【[3²÷2-0.5]×1】²=【[3²÷2+0.5]×1】²
【3×1】²+【4×1】²=【5×1】²
3²+4²=5²
9+16=25

再验算a=3，n=2
【an】²+【[a²÷2 - 0.5]n】²=【[a²÷2+0.5]n】²
【3×2】²+【[3²÷2 - 0.5]2】²=【[3²÷2+0.5]2】²
【3×2】²+【4×2】²=【5×2】²
6²+8²=10²
36+64=100

再验算a=3，n=3
【an】²+【[a²÷2 - 0.5]n】²=【[a²÷2+0.5]n】²
【3×3】²+【[3²÷2 - 0.5]3】²=【[3²÷2+0.5]3】²
【3×3】²+【4×3】²=【5×3】²
9²+12²=15²
81+144=225

再验算a=5，n=1
【an】²+【[a²÷2 - 0.5]n】²=【[a²÷2+0.5]n】²
【5×1】²+【[5²÷2 - 0.5]1】²=【[5²÷2+0.5]1】²
【5×1】²+【12×1】²=【13×1】²
5²+12²=13²
25+144=169

再验算a=5，n=2
【an】²+【[a²÷2 - 0.5]n】²=【[a²÷2+0.5]n】²
【5×2】²+【[5²÷2 - 0.5]2】²=【[5²÷2+0.5]2】²
【5×2】²+【12×2】²=【13×2】²
10²+24²=26²
100+576=676

再验算a=7，n=2
【an】²+【[a²÷2 - 0.5]n】²=【[a²÷2+0.5]n】²
【7×2】²+【[7²÷2 - 0.5]2】²=【[7²÷2+0.5]2】²
【7×2】²+【24×2】²=【25×2】²
14²+48²=50²
196+2304=2500
再验算a=9，n=4
【an】²+【[a²÷2 - 0.5]n】²=【[a²÷2+0.5]n】²
【9×4】²+【[9²÷2 - 0.5]4】²=【[9²÷2+0.5]4】²
【9×4】²+【40×4】²=【41×4】²
36²+160²=164²
1296+25600=26896

文盲王旭龙

早上出去郊游，带上了本子与笔，骑脚踏车上想问题，想好就停车记在本子上。
一个数的3次幂值与2次幂值的关系：
数³-数²=数²×【数-1】
5³-5²=5²×【5-1】
125-25=25×4
100=100

数³-数²×【数-1】=数²
125-25×4=25
125-100=25

数³与数²的关系写了，再写数²与数的关系
数²-数=数×【数-1】
25-5=5×【5-1】
20=5×4=20

有了上面两式，就可以综合出数³-数的式子。
数³-数=数²×【数-1】+数×【数-1】
5³-5=5²×【5-1】+5×【5-1】
5³-5=5²×4+5×4
125-5=25×4+5×4
120=100+20=120

数³-【数²×[数-1]】+数×[数-1]】=数
125-【25×4+5×4】=5
125-【100+20】=5
125-120=5

a³-a²=a²×[a-1]
a³-a²×[a-1]=a²

a²-a=a×[a-1]
a²-a×[a-1]=a

a³-a=a²×[a-1]+a×[a-1]
a³-【a²×[a-1]+a×[a-1]】=a

文盲王旭龙

刚刚又写了一个公式
两数和的3次幂值与两数3次幂值之和的关系
【大数+小数】³=【大数³+小数³】+大数²×小数×3+小数²×大数×3
【甲+乙】³=【甲³+乙³】+甲²×乙×3+乙²×甲×3
【m+n】³=【m³+n³】+m²×n×3+n²×m×3
【a+b】³=【a³+b³】+a²×b×3+b²×a×3

代入数字验算：a=8   b=5
【8+5】³=【8³+5³】+8²×5×3+5²×8×3
13³=【8³+5³】+8²×5×3+5²×8×3
2197=【512+125】+64×5×3+25×8×3
2197=637+960+600
2197=637+1560
=2197


【a+b】³  - 【 a³+b³】的差=【a²×b】的3倍+【b²×a】的3倍
[a+b]³  -  [ a³+b³]=  [ a²×b]×3  +   [b²×a]×3

文盲王旭龙

早上突然想起，小学一二年级时，有个同桌同学叫【王方方】，难道是宿命，老来要跟平方，立方问题纠结。

【武汉市中考题】有求：a³-b³的值的问题。
早上出去骑车，想好了，笔却干了，写不下来，赶紧回家整理公式。
之前已经写过：相邻两个整数，相邻两个奇数，相邻两个偶数的3次幂值之差的公式。由于奇数，偶数的立方体思考是以六面包围来进行的，不能用。只能从相邻两个整数的【三面兜+补角】的方式进行考虑。
写出：a×b×[a-b]×3+[a-b]³
设a=7，b=3。7³=343，3³=27，求343-27=316，
a×b×[a-b]×3+[a-b]³
7×3×[7-3]×3+[7-3]³
21×4×3+4³
84×3+64
252+64
316

不论a，b两数悬殊多大。
设a=10 ，b=1。10³=1000，b³=1，10³-1³=999
a×b×[a-b]×3+[a-b]³
10×1×[10-1]×3+[10-1]³
10×9×3+9³
270+729=999

设a=2 ，b=1。a³=8，b³=1。8-1=7
a×b×[a-b]×3+[a-b]³
2×1×[2-1]×3+[2-1]³
6+1=7

a³- b³=
a×b×[a-b]×3+[a-b]³

文盲王旭龙

大数²-小数²=  [大-小]×小×2+[大-小]²
大数=9，小数=3。9²=81，3²=9，81-9=72
9²-3²=[9-3]×3×2+[9-3]²
81-9=6×3×2+6²
72=36+36=72


a=21，b=4
21²-4²=[21-4]×4×2+[21-4]²
441-16=17×4×2+17²
425=136+289=425

a=32，b=14
32²-14²=[32-14]×14×2+[32-14]²
1024-196=18×14×2+18²
828=504+324=828

一个大数，减去一个小点的数的2次幂值=两数的差与小数相乘之积的二倍+两数差的2次幂值。
a²-b²=[a-b]×b×2+[a-b]²

适用于任意大小悬殊的两数2次幂值之差的求差公式。这也是普适公式。
a²-b²=[a-b]×a+[a-b]×b【这是另一种算法公式】
a=9,b=5
9²-5²=[9-5]×9+[9-5]×5
81-25=36+20
56=56

文盲王旭龙

这是一道【上海中考题】，跟前面我用一步法就知道答案的题一个模式
首先题目确定：a ,b是整数
【1】√a+b=3
【2】a+√b=5
求a+b=?
我仍然用之前的一步法，先给出答案a：4  +   b：1   =5。再看老师讲解。
这类题目的规则，就是最大值限制。a，b都是可以开方的平方值。
5以内只有两个可开方的平方数：1与4。从题型可知：a>b。a=4，b=1。

老师写了一黑板的转换因式密密麻麻，十几道，而给出的答案就是如此。与我的一式无差。

教学，应该由浅入深，但还应该深入浅出。把简单问题复杂化，确实可以显示老师的本领高强。但我把复杂问题简单化，则显示数与数之间的关系，其实是浅显而又明了的。特别是整数范畴，不是故弄玄虚的话，其实很容易捋清关系。我通过学习思考实践，写了一些公式，就是因为整数之间的关系本身不是很复杂。

文盲王旭龙

今天又回小区扫地了。偷空写了一个公式：
a²-b²=[a+b][a-b]
任意大小两数各自的2次幂值之差=两数和×两数差
这是从
6×6-5×5=36-25=11，得知的
6²-5²=[6+5][6-5]
36-25=[6+5]×[6-5]
11=11×1
开始时写成：
a²-b²=[a+b]
6²-5²=[6+5]
36-25=[6+5]
11=11
后来想，这只适用于两数之差为1的两数组合。要表达任意差值两数的2次幂值之差；肯定要写成：
a²-b²=[a+b][a-b]。
不论a，b的差有多大悬殊，a²-b²的差，都可以用这个代数式求得。
a²-b²=[a+b][a-b]
这是两数2次幂值差问题的通用普适公式。
验算
98²-51²=【98+51】×【98-51】
9604-2601=149×47
7003=7003

116²-37²=【116+37】×【116-37】
13456-1369=153×79
12087=12087

公式体现某些数与数之间的相互关系，是自然规律的表达。

文盲王旭龙

【武汉市中考题】的题目：
已知甲+乙=9，甲²+乙²=61。求甲³-乙³的值。

现在，我去掉前面的已知条件，留下
甲²+乙²=61。求甲³-乙³的值。
只用a²+b²=61。去求a³-b³的值。
搞清楚a³-b³与a²+b²的关系。
61=36+25，√36=6，√25=5.
5与6差1，6-5=1.
6×6×6-5×5×5
=216-125
=91.
91=61+30
30=6×5.
于是我据此写出：
a³-b³=a²+b²+ab
216-125=36+25+30
91=91
我考虑到6，5两数之差仅为1。
那么要适应任意差的两数组合的普适公式为
a³-b³=[a²+b²+ab][a-b]
[a²+b²+ab]×[a-b]=a³-b³
[61+30]×[6-5]=216-125
91×1=91

验算a=12 ，  b=5
a³-b³=[a²+b²+ab][a-b]
12³-5³=[12²+5²+12×5]×[12-5]
1728-125=[144+25+60]×7
1603=229×7=1603

验算a=11，  b=5
a³-b³=[a²+b²+ab][a-b]
11³-5³=[11²+5²+11×5]×[11-5]
1331-125=[121+25+55]×6
1206=201×6=1206

在学习批评【武汉市中考题】的过程中，我发现了【大小两数3次幂值之差与大小两数2次幂值之和的关系】。